簡単に答えを出す方法に気付けるか！白い部分の面積を求める問題！

薄緑色の正方形は１辺の長さが１２ｃｍです。この正方形の各辺の中点を結んで白い正方形を作りました。次にこの白い正方形の各辺の中点を結んで薄緑色の正方形を作りました。同じようにしてまん中にある白い正方形を作りました。白い部分全体の面積を求めて下さい。あることに気付くとあっという間に答えが出てしまいます。

あなたはあることに気付いたでしょうか。「あること」は人によって違いますね。
まず、一般的な方法で考えてみましょう。



もとになっている薄緑色の正方形の中にある〇印と◎印と△印をつけた三角形と正方形について考えてみましょう。〇印と△印の三角形が直角二等辺三角形であることに気付きましたか。直角二等辺三角形の３辺の比の関係を利用できそうです。





〇印と△印の直角二等辺三角形と◎印の正方形を抜き出してみました。ピンクの三角形は直角二等辺三角形です。等しい辺の長さは１で斜辺の長さはルート２となっています。この直角二等辺三角形の３辺の比はすべての直角二等辺三角形で成り立ちます。このことを利用すると、〇印と△印の直角二等辺三角形の３辺の長さがわかります。また、正方形の１辺の長さもわかります。

この問題を解いている人は、多分数学好きな人ですね。計算をしていくと、各辺の長さが次々と出てきます。どうぞ楽しみながら求めてみてください。



△印の三角形の面積は９㎠です。◎印の正方形の面積は１８㎠です。白い部分全体の面積というのは、△印の三角形４つ分の面積と◎印の正方形の面積を合わせたものです。
このように考えていくと、白い部分全体の面積は　９×４＋１８　という式で求めることができます。
※（三角形の面積）＝（底辺）×（高さ）÷２　


－答えです

９×４＋１８＝５４　となりますから、答えは　５４㎠　です。　




－別の方法

さて、この問題を別の方法で解いた人もいるのではないでしょうか。補助線を２本引くことによりもとになっている正方形の中に２０個の直角三角形を作る方法です。図を見ると、外側にある薄緑色の三角形の面積は内側に作られる小さい三角形の面積４個分と等しくなっていることがわかります。このことを利用すると、もとになっている正方形の中に小さい三角形が３２個あるということがわかります。

小さい三角形１個分の実際の面積は、１４４÷３２で求められます。（１４４はもとになっている正方形の面積です。）




白い部分全体の面積というのは小さい三角形１２個分の面積のことです。
つまり、白い部分全体の面積は（１２×１２）÷３２×１２　という式で求めることができるとわかります。


－答えです

（１２×１２）÷３２×１２＝５４　となりますから、答えは　５４㎠　です。　


どちらの解き方をしたとしても、答えは５４㎠　となります。あなたはどちらの方法で答えを出しましたか。簡単だと思う解き方は人によって違いますから、どちらが簡単とは言い切れません。
他にも解き方はあると思いますが代表的な解き方で説明しました。自分とは異なる解き方をたくさん知りたいですね。

（秒刊サンデー：わらびもち）